Limit Fungsi

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x  0 ) maka sin x x (x <<< kecil sekali ;  setara ) l i m sin x = 1 l i m tg x = 1 x  0 x x  0 x l i m x = 1 l i m x = 1 x  0 sin x x  0 tg x PERLUASAN l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x  0 bx x  0 bx l i m ax = a/b l i m ax = a/b x  0 sin bx x  0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x  0 sin bx x  0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x  0 tg bx x  0 sin bx Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi: cos x = sin (90° - x) ctg x = tg (90° - x) sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax cos ax = 1- 2 sin² ½ax cos²x = 1 - sin²x HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... = x  pxn + qxn-1 + ...  untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;

0 untuk m < n l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + f x   untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2a
- untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) =  maka

l i m f(x) = l i m f(x)
x  g(x) x a g(x)


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x 3

2. l i m 3x - 2 =  (*) Uraikan
x  2x + 1 

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2

atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x2 - x - 1 =  (*) Uraikan
x  10x + 9 

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x =  - 1 - 0 =  =
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10

atau langsung gunakan hal khusus


4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x 2 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

atau langsung gunakan hal khusus  Differensial


5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x 1 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus  Differensial



6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus  Differensial



7. l i m (3x - 9x2 + 4x) =  -  (*) Hilangkan tanda akar
x 

l i m (3x - 9x2 + 4x ) =  3x - 9x2 + 4x  = (*) Hilangkan tanda
x   3x - 9x2 + 4x  akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x  3x + (9x2 + 4x) x  3x + 3x [1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2
x  3 + 3(1 + 0) 6 3

atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus  Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus  Differensial